Casio – Vinacal Bài 2: Tìm Nhanh Khoảng Đồng Biến – Nghịch Biến

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 1
BÀI 2. TÌM NHANH KHOẢNG ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN
1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Tính đồng biến nghịch biến : Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên khoảng I .
Nếu f ‘x  0 với mọi x  I (hoặc f ‘x  0 với mọi x  I ) và f ‘x  0 tại hữu hạn
điểm của I thì hàm số y  f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I
2. Cách 1 Casio : Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio .
Quan sát bảng kết quả nhận được , khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là
khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng ngịch biến.
3. Cách 2 Casio : Tính đạo hàm, thiết lập bât phương trình đạo hàm, cô lập m và đưa
về dạng m  f x hoặc m  f x . Tìm Min, Max của hàm f x rồi kết luận.
4. Cách 3 Casio : Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính
năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đôi với bất phương trình bậc
hai, bậc ba)
2) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017]
Hỏi hàm số y  2×4 1 đồng biến trên khoảng nào ?
A.      
 
1
;
2
B. 0;  C. 1 ;
2
 
  
  D.
 ;0
GIẢI
 Cách 1 : CASIO MODE 7
 Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết
lập Start 10 End 1
2
 Step 0.5
w72Q)^4$+1==p10=p0.5=0
.5=
Ta thấy ngay khi x càng tăng thì f x càng giảm  Đáp án A sai
 Tương tự như vậy, để kiểm tra đáp án B ta cũng sử dụng chức năng MODE 7
với thiết lập Start 0 End 9 Step 0.5
w72Q)^4$+1==0=9=0.5=
Ta thấy khi x càng tăng thì tương ứng f x càng tăng  Đáp án B đúng
 Cách 2 : CASIO ĐẠO HÀMPHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 2
 Kiểm tra khoảng       
 
1
;
2
ta tính ‘ 1 0.1
2
f      
 
qy2Q)^4$+1$pa1R2$p0.1=
Đạo hàm ra âm (hàm số nghịch biến) Giá trị 1 0.1
2
  vi phạm  Đáp án A
sai
 Kiểm tra khoảng  ;0 ta tính f ‘0  0.1
!!!!!!oooooo=
Điểm 0  0.1 vi phạm  Đáp án D sai và C cũng sai  Đáp án chính xác là B
 Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng không . Ta tính ‘1 0.1 1331
125
f   
Chính xác
!!!!!o1+=
 Cách 3 : CASIO MODE 5 INEQ
 Hàm số bậc 4 khi đạo hàm sẽ ra bậc 3. Ta nhẩm các hệ số này trong đầu. Sử
dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc 3
wR1238=0=0=0==
Rõ ràng x  0
 Cách tham khảo : Tự luận
 Tính đạo hàm y ‘  8×3
 Để hàm số đồng biến thì y ‘  0  x3  0  x  0 .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; 
 Bình luận :
 Khi sử dụng Casio ta phải để ý : Hàm số đồng biến trên khoảng a;b thì sẽ
luôn tăng khi x tăng. Nếu lúc tăng lúc giảm thì không đúng .
Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]
Hàm số y  x3  3×2  mx  m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là :
A. m  1 B. m  3 C. 1 m  3 D. m  3PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 3
GIẢI
 Cách 1 : CASIO
 Để giải các bài toán liên quan đến tham số m thì ta phải cô lập m
Hàm số đồng biến  y ‘  0  3×2  6x  m  0  m  3×3 6x  f x
Vậy để hàm số y đồng biến trên tập xác định thì m  f x hay m  f max
với mọi x thuộc R
 Để tìm Giá trị lớn nhất của f x ta vẫn dùng chức năng MODE 7 nhưng theo
cách dùng của kỹ thuật Casio tìm min max
w7p3Q)dp6Q)==p9=10=1=
 Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn nhất của f x là 3 khi x  1
Vậy m  3
 Cách tham khảo : Tự luận
 Tính đạo hàm y ‘  3×2  6x  m
 Để hàm số đồng biến thì y ‘  0  3×2  6x  m  0 với mọi x R (*)
 ’  0  9 3m  0  m  3
 Bình luận :
 Kiến thức (*) áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2 : “Nếu tam thức bậc
hai ax2  bx  c có   0 thì dấu của tam thức bậc 2 luôn cùng dấu với a ” .
VD3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2
tan
x
y
x m



đồng biến trên
khoảng 0;
 4
 
 
 
A.   
  
0
1 2
m
m
B. m  2 C.1 m  2 D. m  2
GIẢI
 Cách 1 : CASIO
 Để bài toán dễ nhìn hơn ta tiến hành đặt ẩn phụ : Đặt tan x  t . Đổi biến thì
phải tìm miền giá trị của biến mới. Để làm điều này ta sử dụng chức năng
MODE 7 cho hàm f x  tan x .
qw4w7lQ))==0=qKP4=(qK
P4)P19=PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 4
Ta thấy 0  tan x 1 vậy t 0;1
Bài toán trở thành tìm m để hàm số y t 2
t m



đồng biến trên khoảng 0;1
 Tính đạo hàm :    
 2  2
2 2
‘
t m t m
y
t m t m
   
 
 
 2
2
y ‘ 0 m 0 m 2
t m

    

(1)
 Kết hợp điều kiện xác định t  m  0  m  t  m0;1 (2)
Từ (1) và (2) ta được 0
1 2
m
m
 

  
 Đáp án A là chính xác
 Bình luận :
 Bài toán chứa tham só m ở dưới mẫu thường đánh lừa chúng ta. Nếu không
tỉnh táo chúng ta sẽ chọn luôn đáp án B
 Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số.
m  t mà t 0;1 vậy m0;1 .
VD4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y  sin x  cos x  2017 2mx đồng biến trên
R
A. m  2017 B. m  0 C. 1
2017
m  D.
1
2017
m  
GIẢI
 Cách 1 : CASIO
 Tính đạo hàm y ‘  cos x  sin x  2017 2m
‘ 0 sin cos  
2017 2
x x
y m f x      
Để hàm số luôn đồng biến trên R thì m  f x đúng với mọi x  R hay
m  f max
 Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số ta lại sử dụng chức năng MODE 7. Vì hàm
f  x là hàm lượng giác mà hàm lượng giác sin x, cos x thì tuần hoàn với chu
kì 2 vậy ta sẽ thiết lập Start 0 End 2 Step 2
19

qw4w7apjQ))pkQ))R2017s
2==0=2qK=2qKP19=PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 5
Quan sát bảng giá trị của F  X  ta thấy f max  f 3.9683  5.104
Đây là 1 giá trị 1
2017
 vậy 1
2017
m   Đáp án chính xác là C
 Cách tham khảo : Tự luận
 Tính đạo hàm y ‘  cos x  sin x  2017 2m . ‘ 0 sin cos  
2017 2
x x
y m f x      
 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
sin x  cos x2  12  12sin 2 x  cos2 x  2
  2  sin x  cos x  2
2   2
2017 2 2017 2
   f x 
f  x đạt giá trị lớn nhất là 2 1
2017 2 2017
 max 1
2017
 m  f 
 Bình luận :
 Vì chu kì của hàm sin x,cos x là 2 nên ngoài thiết lập Start 0 End 2 thì ta có
thể thiết lập Start  End 
 Nếu chỉ xuất hiện hàm tan , cot x x mà hai hàm này tuần hoàn theo chu kì 
thì ta có thể thiết lập Start 0 End  Step
19

VD5-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 năm 2017]
Tìm m để hàm số y  x3  3×2  mx  m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2.
A. m  0 B. m  3 C. m  2 D. m  3
GIẢI
 Cách 1 : CASIO
 Tính y ‘  3×3  6×2  m
Ta nhớ công thức tính nhanh “Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài
bằng  thì phương trình đạo hàm có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng  ”
Với  là một số xác định thì m cũng là 1 số xác định chứ không thể là
khoảng  Đáp số phải là A hoặc C .
Với m  0 phương trình đạo hàm 3×2  6x  0 có hai nghiệm phân biệt 2
0
x x
  

 
và khoảng cách giữa chúng bằng 2
 Đáp án A là chính xácPHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 6
 Cách tham khảo : Tự luận
 Tính y x x m ‘ 3 6    3 2 . Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì
phương trình đạo hàm có 2 nghiệm x x 1, 2 và x1  x2  0
 Theo Vi-et ta có
1 2
1 2
2
3
x x
m
x x
   
 
  
 Giải x1  x2  2  x1  x2 2  4   x1  x2 2  4x1x2  4
4
4 4 0
m3
    m 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017]
Cho hàm số y  x4  2×2 1 . Mệnh đền nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 
D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 
Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]
Trong các hàng số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biến) trên R
A.      
 3 
x
y B.
 
  
 
53
x
y
e
C. y   3x D. 1
2 2
x
y
 
  
 
Bài 3-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số  1 1
2
m x
y
x m
 


đồng biến trên từng
khoảng xác định
A. m  2 B.    
 
1
2
m m
C. m  2 D.
1 m  2
Bài 4-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017]
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số s2in
cos
m x
y
x

 nghịch biến trên khoảng
0;
 6
 
 
 
A.  5
2
m B.  5
2
m C. 5
4
m  D. 5
4
m 
Bài 5-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  2sin3 x 3sin 2 x  msin x
đồng biến trên khoảng 0;
 2
 
 
 
A. m  0 B.  3
2
m C. 3
2
m  D. 3
2
m PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 7
Bài 6-[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 năm 2017]
Tìm m để hàm số y mx x x m      3 2 3 2 đồng biến trên khoảng 3;0 ?
A. m  0 B. m  1 C. 3m  1 D. m 1
Bài 7-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017]
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y ex x m 22
e m
 


đồng biến trong
khoảng ln 1 ;0
4
 
 
 
A. m1;2 B. 1 ; 1
2 2
m
 
    C. m1;2 D.
1 ; 1 1;2
2 2
m
 
    
Bài 8-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số y  2×3  3m 1 x2  6m  2 x  3 nghịch biến
trên khoảng có độ dài lớn hơn 3.
A. 6
0
m m
 

 
B. m  6 C. m  0 D. m  9
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017]
Cho hàm số y x x     4 2 1 2 . Mệnh đền nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 
D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 
GIẢI
 Giải bất phương trình đạo hàm với lệnh MODE 5 INEQ
wR123p4=0=4=0==
 Rõ ràng hàm số đồng biến trên miền  ;1 và 0;1  Đáp số chính xác là A
Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]
Trong các hàng số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biến) trên R
A.      
 3 
x
y B.
 
  
 
53
x
y
e
C. y   3x D. 1
2 2
x
y
 
  
 
GIẢI
 Hàm số ngịch biến trên R tức là luôn giảmPHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 8
 Kiểm tra tính nghịch biến      
 3 
x
y của hàm với chức năng MODE 7 Start 9 End 10
Step 1
w7(aqKR3$)^Q)==p9=10=1=
Ta thấy f x luôn tăng  A sai
 Tương tự như vậy , với hàm 1
2 2
x
y
 
  
  ta thấy f x luôn giảm  Đáp án chính xác
là D
w7(a1R2s2$$)^Q)==p9=10=1
=
Bài 3-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số  1 1
2
m x
y
x m
 


đồng biến trên từng
khoảng xác định
A. m  2 B.    
 
1
2
m m
C. m  2 D.
1 m  2
GIẢI
 Chọn m  3 . Khảo sát hàm  3 1 1 
x 3
y
x
  


với chức năng MODE 7
w7a(p3p1)Q)+1R2Q)p3==p9=
10=1=
Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm  m  3 sai  A, B, C đều sai
 Đáp số chính xác là D
Chú ý : Việc chọn m khéo léo sẽ rút ngắn quá trình thử đáp án
Bài 4-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017]
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số s2in
cos
m x
y
x

 nghịch biến trên khoảng
0;
 6
 
 
 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 9
A.  5
2
m B.  5
2
m C. 5
4
m  D. 5
4
m 
GIẢI
 Chọn m  3 . Khảo sát hàm 3 si2n
cos
x
y
x

 với chức năng MODE 7
qw4w7a3pjQ))RkQ))d==0=q
KP6=qKP6P19=
Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm  m  3 sai  A, D đều sai
 Chọn m 1.3 . Khảo sát hàm 1.3 s2in
cos
x
y
x

 với chức năng MODE 7
w7a1.3pjQ))RkQ))d==0=qKP
6=qKP6P19=
Ta thấy hàm số luôn  m 1.3 đúng  B là đáp số chính xác (Đáp án C không
chứa 1.3 nên sai)
Bài 5-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  2sin3 x 3sin 2 x  msin x
đồng biến trên khoảng 0;
 2
 
 
 
A. m  0 B.  3
2
m C. 3
2
m  D. 3
2
m 
GIẢI
 Chọn m  5 . Khảo sát hàm y  2sin3 x 3sin2 x  5sin x với chức năng MODE 7
w72jQ))^3$p3jQ))dp5jQ))=
=0=qKP2=qKP20=
Ta thấy hàm số luôn giảm  m  5 sai  B sai
 Chọn m 1 . Khảo sát hàm y x x x    2sin 3sin sin 3 2 với chức năng MODE 7
C!!!!oo+=====PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 10
Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm  m 1 sai  A sai
 Chọn 3
2
m  . Khảo sát hàm 2sin3 3sin2 3 sin
2
y  x  x  x với chức năng MODE 7
C!!!!(3P2)=====
Ta thấy hàm số luôn tăng  3
2
m  đúng  C sai
Bài 6-[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 năm 2017]
Tìm m để hàm số y  mx3  x2 3x  m 2 đồng biến trên khoảng 3;0 ?
A. m  0 B. m  1 C. 3m  1 D. m 1
GIẢI
 Tính đạo hàm y mx x ‘ 3 2 3    2 . Hàm số đồng biến
3 2 2 3 0 2 2 3  
x3
mx x m f x
 x
      
 Vậy m  f max trên miền 3;0 . Tìm f max bằng lệnh MODE 7
w7a2Q)p3R3Q)d==p3=0=3P19
=
Ta thấy max 0.3333… 1
3
f    1
3
m  sai  D là đáp số chính xác
Bài 7-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017]
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y e m x x 22
e m
 


đồng biến trong
khoảng ln 1 ;0
4
 
 
 
A. m1;2 B. 1 ; 1
2 2
m
 
    C. m1;2 D.
1 ; 1 1;2
2 2
m
 
    
GIẢI
 Chọn m 1 . Khảo sát hàm 1 22
1
x
x
e
y
e
 


với chức năng MODE 7
w7aQK^Q)$p1p2RQK^Q)$p1d
==h1P4)=0=ph1P4)P19=PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
Trang 11
Ta thấy hàm số luôn tăng trên  m 1 nhận  A, D có thể đúng
 Chọn m  1 . Khảo sát hàm  
 2
1 2
1
x
x
e
y
e
  

 
với chức năng MODE 7
C$$$$$$(p$)R$$$$$(p$)====
= Ta
thấy hàm số luôn không đổi (hàm hằng)  m  1 loại  A sai và D là đáp số
chính xac
Bài 8-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số y  2×3 3m 1 x2  6m 2 x 3 nghịch biến
trên khoảng có độ dài lớn hơn 3.
A. 6
0
m m
 

 
B. m  6 C. m  0 D. m  9
GIẢI
 Tính y ‘  6×2  6m 1 x  6m  2 . Theo Vi-et ta có : 1 2
1 2
1
2
x x m
x x m
   

  
 Khoảng nghịch biến lớn hơn 3  x1  x2  3  x1  x22  9  x1  x22 4x1x2 9  0
 1 m2  4m  2 9  0
Sử dụng MODE 7 với Start 3 End 10 Step 1 để giải bất phương trình trên
w7(1pQ))dp4(Q)p2)p9==p3=
10=1=
Ta nhận được 6
0
m m
 

 
 A là đáp số chính xác.